Phos Duo...

[pipityri]

Εκπληκτικό, θερμά, θερμότατα συγχαρητήρια!

 

Θα μπορούσες να πεις λίγα(ή πολλά) λόγια για το πως χρησιμοποιείτε την σειρά σ ένα τέτοιο αυτοσχεδιαστικό περιβάλλον? Αν δεν κάνω λάθος πρόκειται για κάτι σαν

C E G# B D# G Bb D F# A C# F, αυξημένες τριάδες που κατεβαίνουν χρωματικά...Νομίζω πως ο Λαδόπουλος το χωρίζει σε κάτι σαν maj7#5/#9...Θα μπορούσες να με διορθώσεις και/ή να διανθίσεις λίγο?

[Sami Amiris]

Ευχαριστώ πολύ!

 

Η σχέση σειραϊσμού και αυτοσχεδιασμού δεν είναι εύκολη, κατ'αρχήν διότι στο σειραϊσμό φτιάχνεις κάτι για να παιχτεί με συγκεκριμένη σειρά νοτών, πράγμα που στον αυτοσχεδιασμό μόνο με τρομερούς περιορισμούς μπορείς να επιβάλεις. Άρα το πιο νορμάλ πράγμα που μπορείς να κάνεις είναι να συνθέσεις έτσι και να αυτοσχεδιάσεις σε ξεχωριστό section με πιο νορμάλ για τον αυτοσχεδιασμό τρόπους.

 

Από την άλλη πλευρά, το να έχεις για αυτοσχεδιαστικό υλικό την ίδια τη σειρά δίνει καινούριες ευκαιρίες για να δουλέψει κανείς. Το είχα πρωτοδιαβάσει σε ένα άρθρο στο Guitar Player, νομίζω του Howard Roberts ή του Dan Haerle. Δεν θυμάμαι, πάνε πολλά χρόνια. Το ξαναείδα και το πρωτοέκανα με προτροπή τον Markus Stockhausen όταν τον συνόδευα σε κάποια σεμινάρια σε Αθήνα - Θεσσαλονίκη.

 

Στο Expanded Matrix κάναμε και τα δύο κατά τόπους. Και συνθέσαμε κανονικότητα με βάση τις γνωστές σειραϊκές τεχνικές που υπάρχουν στα γνωστά βιβλία κτλ., και αυτοσχεδιάσαμε κατά τόπους με την ίδια τη σειρά.

 

Όταν αυτοσχεδιάζει κανείς με τη σειρά, μπορείς να τη χειριστεί με πολλούς τρόπους, ακριβώς όπως κάνει όταν συνθέτει με αυτήν. Μεταξύ άλλων:

 

• Να την κρατήσει όπως είναι και απλώς να αλλάζει οκτάβες, δυναμικές και ρυθμούς, φτιάχνοντας μελωδίες με αυτήν ή με μεταφορές ή μετασχηματισμούς της.
  
• Να παίρνει κάθε 2, 3, 4 νότες κτλ.
  
• Να την εμπλέκει εσωτερικά με άλλες μεταφορές ή μετασχηματισμούς της, π.χ. μία νότα δική της, δύο νότες από την ΙR6 της κτλ.
  
• Να δει τις νότες τις σαν συγχορδιακά σύμπλοκα και να αυτοσχεδιάσει με αυτά, φτιάχνοντας συγχορδίες από τη σειρά και ενώνοντάς τις.
  
• Να δει τις νότες σαν συγχορδιακά σύμπλοκα και να αυτοσχεδιάσει χρησιμοποιώντας τα σαν αρμονία, κανονικά σαν να έπαιζε ένα κομμάτι.
  
• Να δει τις νότες σαν μπασογραμμή που να αυτοσχεδιάσει από πάνω, είτε ελεύθερα, είτε χρησιμοποιώντας κάποιες άλλες μεθόδους σαν αυτές που γράφω εδώ, είτε βάζοντας δικά του progressions από πάνω,
  
• Να δει τις νότες τις σαν προορισμούς για να κάνει κάτι αντίστοιχο με «χρωματική bebop», δηλαδή να χρησιμοποιεί jazz phrasing για να πάει από τη μία στην άλλη νότα.
  
• Να χρησιμοποιεί με τους παραπάνω τρόπους οποιοδήποτε μετασχηματισμό, μεταφορά ή «αναστροφή» της σειράς, μεμονωμένα ή σε συνδυασμό με αυτήν,
  
• Να χρησιμοποιεί υποσύνολα της σειράς με τους παραπάνω τροπους, κτλ
  

 

Η σειρά που χρησιμοποιήσαμε στο κομμάτι είναι ακριβώς αυτή που είπες!

 

O = {0,4,8,11,3,7,10,2,6,9,1,5}

 

Από αυτήν μπορείς να φτιάξεις το γνωστό πίνακα με τις R, I, IR, και να τον επεκτείνεις  διαγώνια με άλλους έντεκα συνυφασμένους πίνακες με τις «αναστροφές» των παραπάνω σειρών (εξού και ο επεκτεταμένος πίνακας» που λέει το κομμάτι). Μετά υπάρχει ο πολλαπλασιασμός των pitch classes με 5, των θέσεων με 5 και τέλος των pitch classes και θέσεων με 5 που παράγει το καθένα απ'αυτά τους δικούς του επεκτεταμένους πίνακες. Από μία σειρά 4 πίνακες. Οπότε έχεις στο τέλος πάρα πολλές συγγενικές σειρές για να παίξεις μαζί τους, αν και αυτές που παράγονται απ'ευθείας από την αρχική σου σειρά στον ένα επεκτεταμένο πίνακα είναι υπεραρκετές.

 

[fusiongtr]

Να 'σαι καλά Sami, που απάντησες στο τόσο εύστοχο ερώτημα του pipityri (ο οποίος αυτά τα γουστάρει με χίλια, it is no secret).

 

Η απάντησή σου αυτή είναι κανονικό μάθημα.

 

Ευχαριστώ (κι εγώ) πολύ. :)

[Sami Amiris]

Να'στε καλά!

[pipityri]

Σ'ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Πραγματικό μάθημα.

 

Το άρθρο από το Guitar Player στο οποίο αναφέρεσαι ίσως είναι ένα του Dave Creamer, από τις Master Series.

 

Συναρπαστικά για μένα τα όσα έγραψες, αν και ομολογώ πως σε 'έχασα στην τελευταία παράγραφο. Πέρα από το γνωστό matrix με τις 48 εκδοχές αδυνατώ να συλλάβω τα υπόλοιπα. Αν ήθελες να εξηγήσεις ή να παραπέμψεις σε βιβλιογραφία, θα το εκτιμούσα.

 

Πιθανότατα το γνωρίζεις ήδη, έχει μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση στο ζήτημα ο John O Gallagher.

[fusiongtr]

Τσέκαρε κι αυτό Σπύρο μου.

Σίγουρα θα τα γνωρίζεις (είναι μόνο βασικές αρχές), αλλά δεν βλάπτει να τα δεις. :)

Izmirli.pdf

[Sami Amiris]

Σε ευχαριστώ.

 

Εδώ μάλλον θίγονται δύο πράγματα. Το ένα είναι οι επεκτεταμένοι πίνακες, και το άλλο οι μετασχηματισμοί.

 

Οι επεκτεταμένοι πίνακες έχουν να κάνουν με κάτι πολύ απλό. Πάρε π.χ. τη σειρά που έχουμε εδώ στο Matrix. Me C=0 (εντελώς αυθαίρετο βέβαια), θα έχουμε ως σειρά την:

 

( 0, 4, 8, 11, 3, 7, 10, 2, 6, 9, 1, 5 ) = ( C, E, G#/Ab, B, D#/Eb, G, Bb, D, F#/Gb, A, C#/Db, F )

 

Αυτή βγάζει το γνωστό πίνακα 12x12 με οριζόντια την παραπάνω ('Ο' μορφή) κάθετη την 'Ι' της, οριζόντια από δεξιά προς αριστερά την 'R' και κάθετα από κάτω προς τα πάνω την 'IR' ή 'RI' μορφή. Κανονικά η 'IR' και η 'RI' πρέπει να αποδειχθούν ότι είναι ίδιες modulo transposition, αλλά αποδεικνύεται, και είναι.

 

(Δηλαδή, είτε πρώτα αντιστρέψεις τα διαστήματα (με το γνωστό '12 μείον το αριθμητικό του διαστήματος') και μετά αναστρέψεις τη σειρά εμφάνισης των pitch classes, είτε πρώτα αναστρέψεις τη σειρά εμφάνισης των pitch classes και μετά αντιστρέψεις τα διαστήματα, ότι καταλήγεις στην ίδια σειρά, με ενδεχόμενο άλλο transposition. Αυτό πράγματι συμβαίνει. Φαινόμενο γνωστό στην Αφηρημένη Άλγεβρα με τα «μεταθετικά διαγράμματα» κτλ.)

 

Μέχρι εδώ καλά. Όλα γνωστά.

 

Αν τώρα, πάρεις την αρχική σου σειρά και πάρεις την πρώτη νότα και την πας στο τέλος, παίρνεις μίαν άλλη σειρά, που είναι κυκλική μετάθεση της πρώτης, σαν «αναστροφή». Πρώτα πρέπει να ελέγξεις ότι δεν συμπίπτει αυτή με κάποια άλλη ήδη υπάρχουσα από τις 4 μορφές της σειράς που θα έχεις ήδη, λόγω πιθανών συμμετριών. Αν δεν συμβαίνει αυτό, έχεις μία καινούρια σειρά, εντελώς «παιδί» της αρχικής σου, στην οποία κάνεις κανονικά τον πίνακά της όπως και πριν.

 

Μετά κάνεις το ίδιο με αυτήν, και μετά το ίδιο με το «παιδί» αυτής, κ.ο.κ., ελέγχοντας την καινούρια παραγόμενη κυκλική μετάθεση τόσο με την αρχική σειρά όσο και με τις προηγούμενές της κυκλικές μεταθέσεις, καθώς  και με τις 3 παράγωγές της καθεμίας. Αν τύχει και η σειρά σου δεν έχει κάποια συμμετρία, μπορείς να πάρεις άλλες 11 σειρές από την αρχική σου, καθεμία με το δικό της πίνακα. Θα δεις τη δομή τους είτε με νούμερα, αφαιρώντας το πρώτο νούμερα από όλα τα νούμερα, ή αν δουλεύεις με νότες, απλά ξεκίνα την και αυτή από C. Το ίδιο είναι.

 

Αν η αρχική σου σειρά δεν έχει συμμετρίες, τότε παίρνεις 4 παράγωγες αυτής (O, R, I, IR) και άλλες 11 κυκλικές μεταθέσεις  με 4 παράγωγες έκαστη, σύνολο 4 + 11 x 4 = 4 + 44 = 48 σειρές. Πολύ υλικό.

 

Στο παράδειγμά μας, αν πάρουμε την πρώτη νότα (0) και τη βάλουμε στο τέλος, θα έχουμε την:

 

( 4, 8, 11, 3, 7, 10, 2, 6, 9, 1, 5, 0 )

 

που μεταφέρεται 4 ημιτόνια κάτω αν αφαιρέσεις το 4 (Mod.12 πάντα) από κάθε μέλος της σειράς, και βγάζεις αυτήν:

 

( 0, 4, 7, 11, 3, 6, 10, 2, 5, 9, 1, 8 ) = ( C, E, G, Β, D#/Eb, F#/Gb, A#/Bb, D, F, A, C#/Db, G#/Ab )

 

που έχει το δικό της 12x12 πίνακα.

 

Αν κάνεις την ίδια δουλειά με αυτήν παίρνεις αυτήν:

 

( 0, 3, 7, 11, 2, 6, 10, 1, 5, 9, 4, 8)

 

κτλ.

 

Σύνολο, 11 σειρές, κυκλικές μεταθέσεις της πρώτης, η καθεμία με το δικό της πίνακα 12x12.

 

Για να τα έχεις και τους 12 πίνακες μαζεμένους και νοικοκυρεμένους σε έναν υπερπίνακα (ο επεκτεταμένος), φτιάχνεις ένα πίνακα από ονόματα pitch classes (με νούμερα δεν γίνεται) που επεκτείνεται διαγώνια, και από το n-οστό entry της κυρίας διαγωνίου ξεκινά ο πίνακας 12x12 της n-οστής κυκλικής μετάθεσης της σειράς. Είναι ουσιαστικά οικονομία γραφής. Αντί για 12 πίνακες, ένας επεκτεταμένος. Το λες καλή οικονομία.

 

Η εναλλακτική σε αυτό είναι οι 12 πίνακες 12x12 που είπαμε παραπάνω. 1 για την αρχική και μέχρι 11 για τις παράγωγες κυκλικές μεταθέσεις.

 

Αυτά για τους επεκτεταμένους πίνακες.

[cigaret13]

  我不明白任何事情  Συγνώμη, αλλά δεν άντεξα..... ;D ;D ;D

[Sami Amiris]

Για τους μετασχηματισμούς, πρέπει να γίνουν κάποιες παρατηρήσεις. Έστω μία τυχαία δοθείσα δωδεκαφθογγική σειρά, σε αριθμητική μορφή, που ξεκινά απ'το 0.

 

Θα λέμε καθολικό μετασχηματισμό μία πράξη που γίνεται σε όλη τη σειρά, είτε πρόκειται για τα pitch classes της, είτε για τις θέσεις αυτών.

 

Αν η πράξη δεν γίνεται σε όλη της σειρά, αλλά μόνο σε καθορισμένο της τμήμα, όπως πχ αλλαγή θέσης δύο στοιχείων, τότε στην καλή περίπτωση μιλάμε για απλή μετάθεση (αν η πράξη γίνεται στις θέσεις των στοιχείων της σειράς), και στην κακή ότι δεν έχουμε πλέον καν σειρά μετά την πράξη (αν η πράξη γίνει στις ίδιες τις pitch classes και προκύψει διπλό νούμερο στη δωδεκάδα, οπότε δεν είναι πλεον κυκλική μετάθεση της χρωματικής, που έχει ΟΛΑ τα νούμερα από 0 ως 11 από μία ΑΚΡΙΒΩΣ φορά το καθένα).

 

Από μεταθέσεις βγάζουμε από μία οποιαδήποτε σειρά όλες τις άλλες, που είναι το γνωστό 471.001.600 ή 39.916.800 που να ξεκινούν από την ίδια νότα. Οπότε δεν θα ασχοληθούμε με αυτές εδώ.

 

Εδώ θα ασχοληθούμε με τους καθολικούς μετασχηματισμούς. Μία και μόνο μία πράξη σε όλα ανεξαιρέτως τα στοιχεία της σειράς, ή στους αριθμούς θέσης των στοιχείων της.

 

1)  Η «σειρά» που προκύπτει από προσθεσαφαίρεση ενός αριθμού σε κάθε pitch class της σειράς, είναι μεταφορά της δοθείσης τόσα ημιτόνια ψηλότερα όσα ο αριθμός που προσθέσαμε.

 

2) Η προσθαφαίρεση ενός αριθμού στη θέση κάθε pitch class της σειράς, οδηγεί σε κυκλική μετάθεση, εκείνη του αριθμού που προσθέσαμε στη θέση του κάθε pitch class.

Π.χ. αν αφαιρέσουμε Modulo 12 το , ή, ισοδύναμα, προσθέσουμε το 11 (modulo 12 πάντα) στη θέση που καταλαμβάνει κάθε στοιχείο της σειράς, όλα τα στοιχεία της σειράς πάνε μία θέση πίσω, και το πρώτο πάει στο τέλος, δηλ. έχουμε την πρώτη κυκλική μετάθεση της σειράς, όπως κάναμε στην παραπάνω ανάρτηση.

 

3) Η «σειρά» που προκύπτει από πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με κάθε pitch class της δοθείσης σειράς, εν γένει δεν οδηγεί σε δωδεκαφθογγική σειρά, ειδικότερα αν ο πολλαπλασιαστής δεν είναι πρώτος σε σχέση με το 12 (δεν έχει κοινούς διαιρέτες με αυτό). Άρα μόνον οι αριθμοί που είναι πρώτοι με το δώδεκα δίνουν 12-φθογγική σειρά, και αυτοί είναι οι 5, 7 και 11.

 

Ο πολλαπλασιαμός με 11 έχει την εξής περίεργη ιδιότητα:

 

x * 11 mod 12 = - x mod 12 (= 12-x mod 12)

 

άρα παίρνεις τα συμπληρώματα ως προς 12 των pitch classes, τα οποία βεβαίως είναι συμμετρικά ως προς 6. Άρα παίρνεις κατακόρυφο καθρέπτη της αρχικής σου σειράς, που, αν δεν με απατά η μνήμη μου, είναι ισοδύναμο με την 'Ι' της δοθείσης. Μάλλον έτσι είναι, διότι η I προκύπτει από αναστροφή των διαστημάτων, και με την αντιστροφή των pitch classes τα διαστήματα μεταξύ τους είναι τα ίδια με αντίστροφη κατεύθυνση.

 

Το οποίο σημαίνει ότι αν πολλαπλασιάσεις τις θέσεις των pitch classes μέσα στη δωδεκαφθογγική σειρά με τον αριθμό 11, παίρνεις την R μορφή.

 

Τώρα δες τα ενδιαφέροντα:

 

11x11 = 121 = 120 + 1 = 1 Mod 12

5x5 = 25 = 24 + 1 = 1 Mod 12

7 x 7 = 49 = 48 + 1 = 1 Mod 12

 

άρα αν φτιάξεις μία σειρά πολλαπλασιάζοντας κάθε pitch class ή κάθε αριθμό θέσεως με κάποιον από αυτούς τους αριθμούς, και ξαναπολλαπλασιάσεις με τον ίδιο αριθμό, ξαναγυρίζεις στην αρχική σου δοθείσα σειρά. Οι μετασχηματισμοί αυτοί έχουν την ιδιότητα ότι  αν τους κάνεις δύο φορές, αυτοακυρώνονται. Αυτός είναι και ο λόγος που η I της Ι είναι η Ο, όπως και η R της R, ή και η IR της IR.

 

Επίσης:

 

5 x 7 = 35 = 11 mod 12

 

άρα αν πολλαπλασιάσουμε επι 5 μια σειρά δεν έχει νόημα να την πολλαπλασιάσουμε και επί 7 μετά γιατί θα πάμε στην Ι της (ή αν το κάναμε στις θέσεις των pitch classes, στην R της). Όμοια και αν πολλαπλασιάσουμε αρχικά με το 7 και μετά με το 5.

 

Επίσης:

 

5 x 11 = 55 = 48 + 7 = 7 mod 12 και

7 x 11 = 77 = 72 + 11 = 5 mod 12

 

Άρα αν παράγω μία σειρά πολλαπλασιάζοντας τα pitch classes της δοθείσης επί 5, και μία άλλη πολλαπλασιάζοντας  με το 7, η μία θα είναι η Ι της άλλης. Αν το κάνω σε θέσεις, η μία θα είναι η R της άλλης. Άρα αν φτιάξω τον πίνακα της μίας, η άλλη θα είναι ήδη μέσα. Αρκεί λοιπόν να κάνω τον έναν από τους δύο πολλαπλασιασμούς για να πάρω καινούριο υλικό. Επιλέγουμε το 5 ως μικρότερο.

 

Μέχρι στιγμής λοιπόν, αν φτιάχνω πίνακες για κάθε σειρά, νόημα έχει να φτιάξω τον επεκτεταμένο πίνακα της δοθείσας σειράς, αυτόν της σειράς που παράγεται όταν πολλαπλασιάσω τα pitch classes της δοθείσης x 5, αυτόν της σειράς που παράγεται όταν πολλαπλασιάσω τις θέσεις των pitch classes της δοθείσης x 5, και εκείνον της σειράς που παράγεται όταν κάνω και τα δύο προηγούμενα μαζί.

 

Σύνολο: Στη μέγιστη περίπτωση έχουμε 4 x 48 σειρές = 192 σειρές.

 

Το ερώτημα που έρχεται λοιπόν είναι: Αυτές είναι οι μοναδικές σειρές που βγαίνουν με απλούς και καθολικούς μετασχηματισμούς στις σειρές, ή υπάρχουν και άλλοι;

 

Μπορώ να πω ότι δεν γνωρίζω όλες τις συναρτήσεις που μπορούν να γίνουν στο σύμπαν των δωδεκαφθογγικών σειρών, είναι πάρα, πάρα πολλές. Αυτό που σίγουρα μπορώ να πω είναι ότι κανένα πολυώνυμο δεν δουλεύει εκτός από τα γραμμικά, και μόλις περιγράψαμε τα μόνα γραμμικά που δουλεύουν (x, 5x, 7x, 11x), από αυτά χρειαζόμαστε μόνον τα x και 5x.

 

Ο λόγος που δε δουλεύουν τα πολυώνυμα με βαθμό από 2 και πάνω είναι απλός: κάθε δύναμη του 6 από δυό και πάνω διαιρείται με το 12, άρα:

 

6^n = 0 mod12 για n>1.

 

Άρα αν υψώσω τα μέλη σειράς σε μία δύναμη, το αποτέλεσμα θα έχει δύο μηδενικά (ένα από το 0 και ένα από το 6), άρα δεν θα είναι σειρά.

 

Συνεπώς, δεν υπάρχει καθολικός νορμάλ μετασχηματισμός πέρα από τον πολλαπλασιασμό με τον αριθμό 5, είτε των pitch classes είτε των θέσεων των pitch classes είτε και των δύο. Έτσι, έχεις εύκολες τα συγγενικες σειρές μία σειράς μόνον με αυτές τις πράξεις.

 

Η κάθε σειρά παράγει τη δική της οικογένεια. Και αν πάρεις οποιοδήποτε μέλος της οικογένειας ως αρχική, παράγονται πάλι οι ίδιες ακριβώς σειρές. Οπότε διαμερίζεται το σύνολο των σειρών σε οικογένειες που είναι συγγενικές.

 

Ο πολλαπλασιασμός με το 5 της χρωματικής δίνει τη σειρά με τον κύκλο 4ης, επί 7 τον κύκλο 5ης που είναι ο αντίστροφος του κύκλου 4ης, και επί 11 την κατιούσα χρωματική.

 

Από κει και πέρα, κανονίζεις εσύ!

[fusiongtr]

Ευχαριστούμε πολύ Sami. :)

 

Βρε παιδιά δεν γίνεται με κάποιον τρόπο να γίνουν sticky αυτά τα post?

 

Ας φτιαχτεί ένα θέμα "Σειραϊσμός, δωδεκάφθογγο, ατονικότητα, προσεγγίσεις" ή κάπως έτσι, και ας ανέβουν αυτά τα υπέροχα που έγραψε ο Sami.

 

Και όποιος άλλος θέλει βέβαια, συμπληρώνει από ιστορικά στοιχεία, παραδείγματα από συνθέσεις, γνώμες,  αναλύσεις, κλπ.

 

Νομίζω ότι και ο Νικόλας θα μπορούσε να προσφέρει πολλά εδώ.

 

Ας ξεφύγουμε λίγο από τις ρουφιάνες τις κλίμακες. :)